Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.
En lenguaje matemático, si tenemos dos funciones \(f\,,\,g\,:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), cuya gráfica está contenida en el plano \(\mathbb{R}^2\), obtendremos un sólido de revolución al rotar la gráfica de la región plana encerrada por dichas funciones alrededor de una recta dada \(r\) (generalmente uno de los ejes de coordenadas o una recta paralela a uno de ellos). Un ejemplo clásico es la figura tridimensional obtenida al rotar una circunferencia cuyo centro no sea el origen de coordenadas alrededor de cualquiera de los ejes de coordenadas. El sólido de revolución generado de esta manera se conoce con el nombre de Toro.
Empleando el cálculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo. El que ha estudiado algo de integración sabe que la integral es una suma continua con infinitos sumandos, y a través de la definición de Riemann entendemos que se trabaja siempre con elementos de tamaño infinitesimal que, en cálculo, digamos que son los diferenciales.
Estos son algunos métodos para el cálculo de volúmenes de solidos de revolución:
CUERNO DE GABRIEL
El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es una figura geométrica que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito. Es la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje X, el gráfico de la función F(x)=1/x, con dominio x ≥ 1.
Fue ideada porEvangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo («solide hyperbolique aigu»).
Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso por el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito en la que intervino el filósofo Thomas Hobbes.
La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.
La Trompeta de Torricelli se forma utilizando la gráfica de, y = 1/x, con el rango x ≥ 1(para evitar la asíntota en x = 0), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X, con X tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.
METODO DE DISCOS
Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo, y el ancho será un . Es importante saber el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo si rotáramos la función en el eje y, despejamos la función dependiendo de y. Siendo el ancho del disco. También f(x) = r.
Este método sólo se puede aplicar cuando el sólido de revolución no tiene “huecos” interiores, es decir, cuando el eje de rotación está en el borde de la región plana. Si la función no tiene inversa en el intervalo dado se puede escoger una porción y calcular la integral en el intervalo biyectivo, y luego sumar la integral de la otra parte, ya que los volúmenes son invariantes ante la suma (la integral de una suma es la suma de las integrales).
METODO DE ARANDELA
Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco más pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el sólido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es o dependiendo del eje de rotación.
El método de Arandelas o Washer, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de la arandela. La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.
METODO DE CAPAS
Existe otro método para encontrar el volumen de un sólido de revolución, que en ciertos casos es más sencillo de aplicar, en este método se usan cilindros circulares huecos es decir cáscaras cilíndricas
Se sabe que el área lateral de un cilindro (sin tapas, claro) es A=2πrh, donde A=2πrr es el radio de la base y hh la altura del cilindro. Podemos considerar envolventes cilíndricas. De este modo, el volumen V , V vendría dado por la suma de todas esas envolventes.
Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o tubo) de anchura. Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa.
